Mistérios dos primos: a espiral de Ulam

Diretor-geral do Instituto de Matemática Pura e Aplicada, ganhador do Prêmio Louis D., do Institut de France

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O matemático alemão Don Zagier, um dos maiores especialistas do mundo em teoria dos números, escreveu uma vez que "os números primos estão entre os objetos mais imprevisíveis estudados pelos matemáticos: eles crescem como ervas daninhas entre os números naturais, parecendo não obedecer a nenhuma lei a não ser a do acaso. E, no entanto, eles também exibem uma regularidade impressionante: existem leis que regem o seu comportamento e eles obedecem a essas leis com precisão quase militar".

Uma bela ilustração desses fatos foi descoberta em 1963 pelo matemático polonês-americano Stanislaw Ulam. Reza a lenda que Ulam estava assistindo a uma palestra longa e particularmente chata e, para se distrair, teve a ideia de escrever os números naturais no papel numa espiral: o 1 no centro; do 2 até o 9, formando um quadrado em volta dele; do 10 ao 25 formando um quadrado maior em volta desse; e assim sucessivamente.

Em seguida, ele marcou os números primos na espiral com um pequeno círculo e analisou a disposição dessas marcações. Assim, descobriu que essa disposição é menos aleatória do que parece à primeira vista: surpreendentemente, aparecem na figura diversas retas (verticais, horizontais e diagonais) onde as marcações são muito abundantes, isto é, retas que contêm uma grande quantidade de números primos.

Na verdade, um fenômeno parecido já tinha sido descoberto em 1932 pelo zoólogo norte-americano Laurence Klauber (especialista em répteis e anfíbios!). A principal diferença é que Klauber organizou os números num triângulo: o 1 na primeira linha; do 2 ao 4 na segunda; 5 a 9 na terceira; e assim sucessivamente. Tal como na espiral de Ulam, a disposição dos primos no triângulo de Klauber parece um pouco aleatória, mas também apresenta uma regularidade surpreendente, com muitos primos alinhados em certas retas.

Como se explica esse tipo de comportamento? Ulam e seus colaboradores estudaram a questão, inclusive usando o computador Maniac II do Laboratório de Los Alamos para produzir uma figura da espiral com os primeiros 65 mil números naturais. No ano seguinte, o fenômeno foi popularizado por Martin Gardner na sua famosa coluna de divulgação da matemática na revista Scientific American .

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Retas verticais, horizontais e diagonais na espiral de Ulam correspondem a sequências quadráticas, ou seja, sequências do tipo p(n)=an 2 +bn+c em que a, b e c são inteiros fixados e n=1, 2, 3, .... Portanto, a observação de Ulam indica que, dependendo dos valores dos coeficientes a, b e c, tal sequência pode conter mais números primos do que seria de esperar se os números primos estivessem distribuídos de forma realmente aleatória.

A busca de primos em sequências polinomiais é um tema antigo de pesquisa. Um exemplo famoso é a sequência p(n)=n 2 -n+41, identificada por Leonhard Euler em 1732. Euler observou que p(n) é primo para todos os valores de n desde 1 até 40. Será que p(n) é sempre primo? Lamentavelmente, não: o próprio Euler apontou que p(41) não é primo!

Esse episódio ilustra bem uma diferença crucial entre a matemática e as demais ciências: uma afirmação matemática só é lei se foi provada para todos os casos (e então ela dura para sempre).

Resulta que o polinômio de Euler está relacionado com a espiral de Ulam e ajuda a entender um pouco a observação de Ulam. Comentarei na semana que vem.

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Publicado originalmente por Folha de S.Paulo. Leia a matéria completa em https://redir.folha.com.br/redir/online/emcimadahora/rss091/*https://www1.folha.uol.com.br/colunas/marceloviana/2026/08/misterios-dos-primos-a-espiral-de-ulam.shtml.