A espiral de Ulam e seus primos

Diretor-geral do Instituto de Matemática Pura e Aplicada, ganhador do Prêmio Louis D., do Institut de France

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Em 1963, o matemático Stanislaw Ulam teve a ideia de escrever os números naturais numa espiral (o 1 no centro; do 2 até o 9, formando um quadrado em volta dele; do 10 ao 25 formando um quadrado em volta desse; e assim sucessivamente) e marcar os números primos na espiral com um pequeno círculo. O que ele notou foi que a figura obtida desse modo apresenta diversas retas contendo uma quantidade surpreendentemente grande de números primos.

As retas na espiral de Ulam correspondem a sequências da forma 4n²+bn+c em que b e c são inteiros fixados e n=1,2,3,.... O coeficiente b indica a orientação da reta: se b é ímpar, a reta é vertical ou horizontal; e se b é par, a reta é diagonal, com inclinação de 45º para cima ou para baixo.

Algumas dessas sequências não contêm nenhum primo: é o caso de 4n²+8n+3, já que essa expressão sempre pode ser escrita como um produto (2n+1)×(2n+3). Por outro lado, a observação de Ulam significa que para alguns valores dos coeficientes b e c a sequência 4n²+bn+c contém muito mais primos do que seria de se esperar. Como explicar isso?

Em 1923, os britânicos Godfrey H. Hardy e John E. Littlewood publicaram um trabalho que oferece uma possível explicação. Eles conjecturaram (ou seja, eles afirmaram, sem provar) que para toda sequência 4n²+bn+c existe uma constante A tal que a quantidade de números primos na sequência menores do que um dado N grande é aproximadamente igual a A √N/logN. Então, quanto maior for o A, mais primos existem na respectiva reta.

Se os números primos estivessem distribuídos de forma totalmente aleatória entre os números naturais, a constante A seria igual a 1/2 em todos os casos, ou seja, para todos os valores de b e c. Mas não é isso que acontece: em diversos casos o A é bem maior do que 1/2, o que quer dizer que a quantidade de primos nas retas correspondentes está muito acima do habitual. Esse é precisamente o tipo de comportamento observado por Ulam.

Um belo exemplo é 4n²−2n+41, que corresponde a uma das retas mais visíveis na espiral de Ulam. O respectivo valor de A é cerca de 3,3 e, portanto, essa reta contém mais de 6 vezes mais primos do que uma reta típica na espiral.

Muito antes disso, em 1732, Leonard Euler tinha observado que o polinômio q(m)= m²−m+41 parece conter muitos números primos. De fato, Euler provou que q(m) é primo para todos os valores de m de 1 até 40. Isso não é verdade para m=41, e a partir daí o q(m) tanto pode ser primo como composto.

Uma observação muito curiosa é que, se considerarmos apenas os valores pares de m, ou seja, se consideramos m=2n, o polinômio de Euler se transforma, precisamente, na sequência 4n²−2n+41 de que estávamos falando antes. O que isso sugere é que a intuição de Euler estava totalmente correta: o polinômio q(m) que ele propôs é, realmente, um dos que contêm mais primos!

Pelo menos é o que se acredita: a maior parte das coisas que contei antes depende da conjectura de Hardy e Littlewood, a qual não está provada. Aliás, muitos outros problemas relacionados, alguns deles até mais simples, também continuam em aberto.

Por exemplo, não sabemos se os primos da forma n²+1 formam um conjunto finito ou infinito. Na verdade, não sabemos se existe alguma sequência polinomial, de grau 2 ou maior, contendo uma quantidade infinita de números primos. O que, sim, sabemos é que que não existe nenhum polinômio que produza apenas números primos.

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Publicado originalmente por Folha de S.Paulo. Leia a matéria completa em https://redir.folha.com.br/redir/online/emcimadahora/rss091/*https://www1.folha.uol.com.br/colunas/marceloviana/2026/08/a-espiral-de-ulam-e-seus-primos.shtml.